接下来的两天，张辰和钱瑾姝都在调整函数的控制点参数。
张辰把三个控制点的纵坐标作为优化变量，用内点法自带的梯度信息做局部搜索。
钱瑾姝在旁边记录每次迭代的结果，画出参数变化的轨迹。
控制点的权重系数不是单调变化的——起飞段的权重先升后降，巡航段的权重一直在降，末端的权重波动最大。
周三下午，张辰盯着屏幕上的收敛曲线，忽然说了一句：“末端的权重波动这么大，可能是因为末端段的物理模型本身就不准。”
钱瑾姝凑过来看了看，“你是说，末端的控制模型需要单独修正？”
“先调参数，把末端权重稳住。如果还不行，再动模型。”
张辰把末端权重的初值改了一个量级，重新跑。收敛曲线平滑了，热流峰值再降了两个百分点，射程增了一个点。
周四上午，两个人把参数调到了当前方案下的最优组合。热流比初始基线降了百分之十四，射程增了百分之十一。两条曲线的形状平滑，没有多余震荡。
“可以了~~”张辰靠在椅背上，“明天带给钱爷爷看看。”
周五下午，钱家书房。
钱文忠戴上老花镜，翻着张辰带过来的数据。热流曲线、射程曲线、权函数参数的收敛历程，一页一页地看。翻到最后，他合上笔记本，摘下眼镜。
“参数调得不错。下一步，把空间摩擦加上。”他从书架上抽出一本更旧的讲义，放在桌上推过来，“自由分子流到连续流的过渡区，用桥函数拟合。推导过程在里面，你们自己先看。有问题攒着，下个月一起问。”
张辰接过讲义，翻开第一页。公式密密麻麻，推导很细。
“谢谢钱爷爷。”
.........
周六上午，张辰和钱瑾姝到了办公室。张辰把钱老给的讲义摊在桌上，两人各翻一遍。
讲义比之前那本厚得多，三十多页，从自由分子流的基本假设开始，推到连续流的气动系数，中间用桥函数搭桥。推导不完整，跳了很多步，显然是钱老当年手写的笔记，不是正式教材。
张辰看了两页就停了,“这跳得也太多了。”
“爷爷是让我们自己补。”钱瑾姝指着第四页的一行公式，“这里，从自由分子流的阻力系数直接跳到了桥函数的形式，中间没有推导。”
张辰盯着那行公式看了一会儿，拿起笔在草稿纸上写了几行。
自由分子流的阻力系数与分子速度比有关，连续流的阻力系数与马赫数平方成正比。
两者形式完全不同，桥函数的任务是让过渡区的值光滑衔接。
“不是简单插值。”张辰放下笔，“桥函数的形式应该跟克努森数有关。克努森数小的时候趋向连续流，大的时候趋向自由分子流。”
钱瑾姝翻开讲义后面几页，找到了一张图表。横坐标是克努森数，纵坐标是桥函数的值，曲线是S形的。
“S形曲线——可以用双曲正切拟合。”张辰说。
周日两人也没有歇息，把推导重新做了一遍。张辰从玻尔兹曼方程的渐近分析出发，推导了桥函数应该满足的边界条件——克努森数趋近于零时，桥函数趋近于零；趋近于无穷时，趋近于一。然后用双曲正切构造了一个形式，带一个待定参数。
钱瑾姝拿这个形式去拟合讲义里那张图表的数据，调了参数。拟合误差在百分之五以内。
“方向对，但精度不够。”张辰看着拟合结果，“双曲正切只有一个自由参数，自由度太低。得加一个参数。”
“用双参数逻辑斯蒂函数？”
张辰想了想，“试试。”
钱瑾姝花了一个小时推导了双参数逻辑斯蒂函数的表达式，重新拟合。误差降到了百分之二以内。
“可以了。”她把拟合结果递给张辰。
张辰把新桥函数写进代码，跑了一组简单测试——给定克努森数的变化序列，算气动系数的过渡值。结果连续，没有突变，边界条件满足。
“这只是单点验证。”张辰靠在椅背上，“还得嵌进全流程跑一遍，看跟风洞数据的偏差。”
“嗯，明天再继续！！”，钱瑾姝活动了一下手腕。
周一上午，两人把桥函数模块嵌进全流程。跑了两个算例，偏差都在百分之三以内。
张辰又跑了一组极端工况——克努森数的变化范围比讲义里的图表大了一倍，结果依然稳定。
“桥函数的形式泛化性不错。”张辰盯着屏幕，“钱老给的图表数据范围有限，我们拟合出来的公式在外推区域也有效。”
“要不要报给周哥？”
“不急。先把文档写了，周五带给钱老看。”
接下来的几天，两个人都在写技术文档和做验证。张辰把桥函数的推导过程和拟合结果写成报告，钱瑾姝跑了几组不同工况的验证，误差都在允许范围内。
钱家书房，钱文忠翻着张辰带过来的报告。
“双参数逻辑斯蒂？”钱老问道。
“双曲正切只有一个参数，自由度不够。我们换成了双参数形式，拟合误差降到了百分之二以内。”
钱文忠点了点头，继续往下翻。翻到最后，他合上报告，摘下眼镜。
“泛化性验证做了？”
“做了。克努森数范围外推了一倍，结果稳定。”
钱文忠看了张辰一眼，把报告放在桌上，“可以。继续把桥函数模块嵌进全流程，跑三组标准算例，跟风洞数据比对。比完没问题，就算定型。”
张辰合上笔记本，“好的。”
接下来的两周，张辰和钱瑾姝都在跑桥函数模块的验证。
他们把三组标准算例嵌进全流程，一组是低空低速工况，克努森数很小，接近连续流极限；一组是高空高速工况，克努森数很大，接近自由分子流极限；还有一组是过渡区工况，克努森数覆盖了中间几个量级。
张辰负责调桥函数的参数，钱瑾姝负责对照风洞数据。
两组极限工况跑得快，偏差都在百分之二以内。过渡区工况跑了两天出了问题——气动系数在某个克努森数附近出现了一个不该有的拐点。
“桥函数没问题，是输入数据的问题。”张辰盯着输出日志，翻了钱瑾姝的数据预处理代码，“克努森数序列不是单调的，中间有两个点重复了。”
钱瑾姝改了数据，重新跑。拐点消失，偏差降到了百分之一点五。
周二晚上，三组算例全部跑完。张辰把结果整理成报告，发给周明。备注里写道：“桥函数模块已通过三组标准算例验证，偏差均在百分之二以内，建议纳入总体流程。”
周明第二天早上回的邮件，只有两个字：“收到。”
周四下午，周明来了办公室，手里拿着一份打印好的报告。
“总师看了。让下周一之前提交最终版本，嵌进总体代码库。”周明把报告放在桌上，“还有，总师问，这个桥函数的方法能不能推广到其他过渡区问题，比如湍流模型？”
张辰愣了一下，随即反应过来，“我觉着可以试试，但是先别急，我先问问钱爷爷，看看钱爷爷怎么说！”
周明点了点头，“行，那你尽快！”！
周五下午，钱家书房钱文忠翻看着张辰的报告。三组算例的对比曲线、偏差分布、收敛历程，一页一页地看完。
“总师说什么了？”
“让下周一之前提交最终版本。还问能不能推广到湍流模型。”，张辰道。
钱文忠看了他一眼，“你打算怎么回复？”
张辰犹豫了一下，道：“可以试试，不过得先完成这个。”
钱文忠点了点头，“桥函数模块可以定型了。湍流模型那个，你先看文献，再完善一下。”
周六上午，两人到了办公室。张辰打开电脑，开始查湍流模型过渡区的文献。钱瑾姝在旁边翻钱老给的讲义，把桥函数模块的最终版本又过了一遍。
“周哥那边催了吗？”钱瑾姝问道。
“下周一之前提交就行。不急，先把文档写完。”
张辰把桥函数模块的代码打了个标签，提交到版本库。注释写的是：“桥函数模块定型，基于双参数逻辑斯蒂函数，克努森数范围已验证。”
钱瑾姝把技术文档的最后一版整理好，发给了周明。
周一上午，周明回了邮件，“收到。模块已合并到主线分支。”
张辰看完邮件，合上电脑，转头看了钱瑾姝一眼，“下一步，湍流模型。”
钱瑾姝翻出钱老之前提到的文献列表，一共七篇。
张辰分了工——自己看四篇，钱瑾姝看三篇，周五之前交换笔记。
接下来几天，两个人都在啃文献。张辰看的四篇里，有一篇是钱老早年写的内部报告，讲的是湍流转捩区的工程计算方法，思路跟桥函数很像——用插值函数连接层流和湍流的气动系数。
张辰把这篇报告反复看了三遍，在笔记本上记了十几页。周三下午，他合上笔记本，对钱瑾姝说：“湍流模型的过渡区，可以用跟桥函数一样的思路。”
“你是说，用克努森数做自变量，插值层流和湍流的系数？”
“不完全是。湍流过渡区的影响因素更多，但基本框架是一样的。先做个简化版，验证方向。”
张辰在纸上画了一个草图——层流区、过渡区、湍流区，横坐标是雷诺数，纵坐标是摩擦系数。过渡区用双参数逻辑斯蒂函数搭桥。
“你推导表达式，我改代码框架。”张辰道。
“行。”
— 本章完 —